Doctoral thesis (Dissertations and theses)
About some notions of regularity for functions
Loosveldt, Laurent
2021
 

Files


Full Text
these.pdf
Author preprint (2.22 MB)
Download
Annexes
presentation.pdf
Publisher postprint (4.32 MB)
Beamer défense
Download

All documents in ORBi are protected by a user license.

Send to



Details



Abstract :
[en] Given a function, a first natural desire is to know its ``behaviour''. To achieve this goal, different notions, such as differentiability, Lipschitz or Hölderian conditions, have been introduced through the time, with more and more preciseness. In this thesis, we aim at characterizing the regularity of functions from different points of view that generalize the precited ones, and using different associated functional spaces. First, we focus on uniform regularity, investigated through Besov spaces of generalized smoothness. These spaces were originally defined in terms of Littlewood-Paley decompositions and, quickly afterwards, a characterization using finite differences was given. Using this last one, we present some alternative definitions for Besov spaces of generalized smoothness, involving elementary objects: (weak) derivatives, polynomials and convolution. This is made in order to understand as precisely as possible what means the belonging to a given Besov space. Initially, these spaces are known to be interpolation spaces between Sobolev spaces. A first generalization was obtained by introducing a function parameter in the interpolation formula. The spaces we consider here are even more general and, as an intent to ``close the circle'', we define a new method of interpolation for which Besov spaces of generalized smoothness are still linked to Sobolev spaces. Then, we study pointwise regularity by defining functional spaces that generalize both the ones of Hölder and Calderón and Zygmund. After nearly characterizing them by the mean of wavelet coefficients, we establish a multifractal formalism particularly well adapted to explore the pointwise regularity through our new spaces. In fact, as their definition is a kind of localization around the point of interest of generalized Besov conditions, it is not a surprise that Besov spaces of generalized smoothness play a major role in this formalism. After investigating the multifractal nature of pointwise spaces of generalized smoothness, we focus, in a more functional analysis point of view, on their interaction with partial differential equations. This follows the trail of Calderón and Zygmund as we link generalized pointwise smoothness with some families of operators. This leads to a theorem that allows to give the regularity of the solution of an elliptic partial differential equation by formulating it from the regularity of the coefficients and the right-hand side of the equation. Finally, at a midpoint between uniform and pointwise regularites, we study functions that are continuously differentiable on a compact set. Even if the question seems naive and harmless at first look, all good habits from open sets are missing and a whole new theory needs to be established. Based on deep results of functional analysis, we characterize the completeness of the defined functional space and show that, for any compact set, the restrictions on it of the continuously differentiable functions on $\R^d$ are dense in our space. Finally, the latter is compared with other spaces, more frequently met in the literature.
[fr] Étant donnée une fonction, un premier désir naturel est de connaitre son "comportement''. Pour atteindre cet objectif, différentes notions telles que la différentiabilité, les conditions de Lipschitz ou de Hölder, ont été introduites à travers le temps, avec de plus en plus de précision. Dans cette thèse, nous souhaitons caractériser la régularité de fonctions depuis différents points de vue, qui généralisent les précédents, et en utilisant divers espaces fonctionnels. Premièrement, nous nous intéressons à la régularité uniforme, étudiée à travers les espaces de Besov de régularité généralisée. Ces espaces ont originalement été définis en termes de décomposition de Littlewood-Paley et, peu de temps après, une caractérisation utilisant les différences finies était obtenu. En exploitant cette dernière, nous présentons des définitions alternatives pour les espaces de Besov généralisés, au moyen d'objets élémentaires : les dérivées (faibles), les polynômes et la convolution. Cela est fait en vue de comprendre, aussi précisément que possible, ce que signifie l'appartenance à un espace de Besov donné. Initialement, ces espaces sont connus pour être des espaces d'interpolation entre les espaces de Sobolev. Une première généralisation a été obtenue en introduisant une fonction en paramètre de la formule d'interpolation. Les espaces que nous considérons ici sont encore plus généraux et, dans une tentative de ``boucler la boucle'', nous définissons une nouvelle méthode d'interpolation réelle pour laquelle les espaces de Besov de régularité généralisée sont toujours liés aux espaces de Sobolev. Ensuite, nous étudions la régularité ponctuelle en définissant des espaces fonctionnels qui généralisent à la fois les espaces de Hölder et de Calderón et Zygmund. Après avoir (presque) caractérisé ceux-ci au moyen de coefficients en ondelettes, nous établissons un formalisme multifractal particulièrement bien adapté pour explorer la régularité ponctuelle au travers de nos espaces. En fait, vu que leur définition est une sorte de localisation autour du point d'intérêt de la condition d'appartenance aux espaces de Besov généralisés, c'est sans surprise que ces derniers jouent un rôle majeur dans ce formalisme. Après avoir étudié la nature multifractale des espaces ponctuels de régularité généralisée, nous nous focalisons, d'un point de vue plus tourné vers l'analyse fonctionnelle, sur leurs interactions avec les équations aux dérivées partielles. Cela suit le chemin tracé par Calderón et Zygmund puisque nous lions la régularité généralisée avec des familles d'opérateurs. Cela conduit à un théorème qui permet de donner la régularité de la solution d'une équation différentielle elliptique en la formulant à partir de la régularité des coefficients et du membre de droite de l'équation. Finalement, en guise d'intermédiaire entre les régularités uniformes et ponctuel- \\ les, nous étudions les fonctions continûment dérivables sur un ensemble compact. Même si cette question semble naïve et inoffensive au premier coup d'oeil, toutes les bonnes habitudes acquises sur les ensembles ouverts manquent à l'appel et il est nécessaire d'établir entièrement une nouvelle théorie. En s'appuyant sur des résultats profonds d'analyse fonctionnelle, nous caractérisons la complétude de l'espace fonctionnel que nous définissons et montrons que, pour tout ensemble compact, les restrictions à ce dernier des fonctions continûment dérivables sur $\R^d$ sont denses dans notre espace. Finalement, ce dernier est comparé avec d'autres espaces, plus fréquemment rencontrés dans la littérature.
Disciplines :
Mathematics
Author, co-author :
Loosveldt, Laurent  ;  Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Analyse - Analyse fonctionnelle - Ondelettes
Language :
English
Title :
About some notions of regularity for functions
Alternative titles :
[fr] À propos de diverses notions de régularité pour les fonctions
Defense date :
10 March 2021
Number of pages :
xiv + 197
Institution :
ULiège - Université de Liège
Degree :
Docteur en Sciences
Promotor :
Nicolay, Samuel  ;  Université de Liège - ULiège > Mathematics
President :
Schneiders, Jean-Pierre ;  Université de Liège - ULiège > Mathematics
Secretary :
Esser, Céline  ;  Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Analyse mathématique et ses interactions avec la théorie des probabilités
Jury member :
Bastin, Françoise ;  Université de Liège - ULiège > Mathematics
Frerick, Léonhard ;  Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Analyse - Analyse fonctionnelle - Ondelettes
Jaffard, Stéphane ;  Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Analyse - Analyse fonctionnelle - Ondelettes
Vindas, Jasson
Wengenroth, Jochen ;  Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Analyse - Analyse fonctionnelle - Ondelettes
Funders :
F.R.S.-FNRS - Fonds de la Recherche Scientifique [BE]
Available on ORBi :
since 05 February 2021

Statistics


Number of views
281 (46 by ULiège)
Number of downloads
258 (39 by ULiège)

Bibliography


Similar publications



Contact ORBi