Abstract :
[en] The study of populations of pulse-coupled firing oscillators is a general and simple paradigm to investigate a wealth of natural phenomena, including the collective behaviors of neurons, the synchronization of cardiac pacemaker cells, or the dynamics of earthquakes. In this framework, the oscillators of the network interact through an instantaneous impulsive coupling: whenever an oscillator fires, it sends out a pulse which instantaneously increments the state of the other oscillators by a constant value. There is an extensive literature on the subject, which investigates various model extensions, but only in the case of leaky integrate-and-fire oscillators. In contrast, the present dissertation addresses the study of other integrate-and-fire dynamics: general monotone integrate-and-fire dynamics and quadratic integrate-and-fire dynamics. The main contribution of the thesis highlights that the populations of oscillators exhibit a dichotomic collective behavior: either the oscillators achieve perfect synchrony (slow firing frequency) or the oscillators converge toward a phase-locked clustering configuration (fast firing frequency). The dichotomic behavior is established both for finite and infinite populations of oscillators, drawing a strong parallel between discrete-time systems in finite-dimensional spaces and continuous-time systems in infinite-dimensional spaces. The first part of the dissertation is dedicated to the study of monotone integrate-and-fire dynamics. We show that the dichotomic behavior of the oscillators results from the monotonicity property of the dynamics: the monotonicity property induces a global contraction property of the network, that forces the dichotomic behavior. Interestingly, the analysis emphasizes that the contraction property is captured through a 1-norm, instead of a (more common) quadratic norm. In the second part of the dissertation, we investigate the collective behavior of quadratic integrate-and-fire oscillators. Although the dynamics is not monotone, an “average” monotonicity property ensures that the collective behavior is still dichotomic. However, a global analysis of the dichotomic behavior is elusive and leads to a standing conjecture. A local stability analysis circumvents this issue and proves the dichotomic behavior in particular situations (small networks, weak coupling, etc.). Surprisingly, the local stability analysis shows that specific integrate-and-fire oscillators exhibit a non-dichotomic behavior, thereby suggesting that the dichotomic behavior is not a general feature of every network of pulse-coupled oscillators. The present thesis investigates the remarkable dichotomic behavior that emerges from networks of pulse-coupled integrate-and-fire oscillators, putting emphasis on the stability properties of these particular networks and developing theoretical results for the analysis of the corresponding dynamical systems.
[fr] Les populations d’oscillateurs impulsivement couplés constituent un paradigme simple et
général pour étudier une multitude de phénomènes naturels, tels que les comportements collectifs
des neurones, la synchronisation des cellules pacemaker du coeur, ou encore la dynamique
des tremblements de terre. Dans ce contexte, les oscillateurs interagissent au sein du réseau
par le biais d’un couplage instantané: quand un oscillateur décharge, il envoie vers les autres
oscillateurs une impulsion qui incrémente instantanément leur état par une valeur constante.
Diverses extensions du modèle ont été intensément étudiées dans la littérature, mais seulement
dans le cas d’oscillateurs leaky integrate-and-fire. Afin de pallier cette restriction, le présent manuscrit traite de l’étude d’autres dynamiques integrate-and-fire: les dynamiques générales integrate-and-fire monotones et les dynamiques integrate-and-fire quadratiques.
La contribution principale de la thèse met en évidence le comportement d’ensemble dichotomique
selon lequel s’organisent les populations d’oscillateurs: soit les oscillateurs atteignent
un état de synchronisation parfaite (taux de décharge lent), soit ils convergent vers
une configuration de clustering en blocage de phase (taux de décharge rapide). Ce comportement
dichotomique est établi aussi bien pour des populations finies que pour des populations
infinies, ce qui démontre un parallèle élégant entre des systèmes en temps-discret dans des
espaces de dimension finie et des systèmes en temps-continu dans des espaces de dimension
infinie.
La première partie du manuscrit se concentre sur l’étude des dynamiques integrate-and-fire
monotones. Dans ce cadre, nous montrons que le comportement dichotomique résulte de la
propriété de monotonicité des oscillateurs. Cette dernière induit une propriété de contraction
globale, elle-même engendrant le comportement dichotomique. En outre, l’analyse révèle que
la propriété de contraction est capturée par une norme 1, au lieu d’une norme quadratique
(plus usuelle).
Dans la seconde partie de la thèse, nous étudions le comportement d’ensemble d’oscillateurs
integrate-and-fire quadratiques. Bien que la dynamique ne soit plus monotone, une propriété
de monotonicité “en moyenne” implique que le comportement collectif est encore dichotomique.
Alors qu’une analyse de stabilité globale s’avère être difficile et conduit à plusieurs
conjectures, une analyse locale permet de prouver le comportement dichomique dans certaines
situations (réseaux de petite taille, couplage faible, etc.). De plus, l’analyse locale prouve que
des oscillateurs integrate-and-fire particuliers ne s’organisent pas suivant un comportement
dichotomique, ce qui suggère que ce dernier n’est pas une caractéristique générale de tous les
réseaux d’oscillateurs impulsivement couplés.
En résumé, la thèse étudie le remarquable comportement dichotomique qui émerge des
réseaux d’oscillateurs integrate-and-fire impulsivement couplés, mettant ainsi l’emphase sur
les propriétés de stabilité desdits réseaux et développant les résultats théoriques nécessaires à
l’étude mathématique des systèmes dynamiques correspondants.
