Abstract :
[fr] En probabilités, lorsqu'on considère un vecteur aléatoire $\mathbf{X}$, la première question naturelle est de savoir si la loi de ce vecteur est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue : existe-il une fonction positive $f \, : \, \R^d \to [0, + \infty[$, intégrable, telle que, pour tout borélien $A \subseteq \R^d$, on a
\[ \mathbb{P}( \mathbf{X} \in A) = \int_A f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x} ~ ?\]
Dans le cas d'un vecteur gaussien, on sait qu'une telle densité existe si et seulement si la matrice de variance-covariance
\[ \Var([mathbf{X}]= \left(\text{Cov}[X_j,X_k]\right)_{1 \leq j,k \leq d}\]
est non singulière.
Nous verrons alors que, lorsque nous considérons un processus stochastique gaussien $\{X_t\}_{t \in \R}$, pour s'assurer que tout vecteur aléatoire $(X_{t_1},\dots,X_{t_d})$ $(t_1,\dots,t_d \in \R)$ issu de ce processus admet une densité, on peut établir que ce processus vérifie la propriété dite de non-déterminisme local.
Malheureusement, lorsqu'on sort du cas gaussien, ce formalisme n'existe plus. Cependant, dans le cadre de la théorie des chaos de Wiener, que nous présenterons brièvement, on dispose d'une extension du résultat énoncé ci-dessus : la loi d'un vecteur aléatoire \textit{suffisamment régulier} est absolument continue dès lors que \textit{sa matrice de Malliavin} est non singulière.
Après avoir précisé les termes de ce dernier énoncé, nous proposerons une extension de la notion de non-déterminisme local, adaptée au contexte du calcul de Malliavin. Nous montrerons alors que cela nous donne une nouvelle stratégie pour garantir l'absolue continuité des lois de vecteurs aléatoires issus de processus stochastiques définis sur les chaos de Wiener. Si le temps nous le permet, nous montrerons finalement qu'un renforcement de la condition de non-déterminisme local permet également d'obtenir des informations sur la régularité des densités.
