Abstract :
[en] The Hadamard product of power series has been studied for more than one hundred years and has become a classical tool in complex analysis. Nonetheless, this product only concerns functions which are holomorphic near the origin. In 2009, T. Pohlen studied an extension of this Hadamard product on functions defined on open subsets of the Riemann sphere, which do not necessarily contain the origin. Using ad-hoc and explicit constructions, he could define this product thanks to a contour integration formula. However, his construction is non-symmetric with respect to 0 and the infinity.
The first part of this thesis consists in the study of a generalization of Pohlen's extended Hadamard product. Using singular homology theory, we introduce more symmetric cycles and define a generalized Hadamard product which is equivalent to Pohlen's product when the functions vanish at infinity. Then, we show that this generalized Hadamard product is a particular case of a more general phenomenon called "holomorphic cohomological convolution". We study this convolution in detail on the multiplicative complex Lie group C^* and provide a contour integration formula to compute it.
The second part of the thesis is devoted to the study of holomorphic Paley-Wiener type theorems due to Polya (in the compact case) and to Méril (in the non-compact case). These theorems use a contour integration version of the Laplace transform. Thanks to the theory of enhanced subanalytic sheaves developed by A. D'Agnolo and M. Kashiwara as well as the enhanced Laplace transform introduced by M. Kashiwara and P. Schapira, we show that such theorems can be understood from a cohomological point of view. Under some convex subanalytic conditions, we are even able to provide stronger Laplace isomorphisms between spaces which are described by tempered growth conditions.
It appears that these spaces can be linked to certain spaces of analytic functionals. In the non-compact case, we define a convolution product between analytic functionals and conjecture that it is compatible with the additive version of the previously studied holomorphic cohomological convolution. Thanks to our results on the enhanced Laplace transform, we prove the conjecture in the subanalytic case.
[fr] Le produit d'Hadamard entre séries de puissances entières a été étudié depuis plus de cent ans et est devenu un outil classique de l'analyse complexe. Néanmoins, ce produit concerne uniquement les fonctions holomorphes au voisinage de l'origine. En 2009, T. Pohlen a étudié une extension de ce produit d'Hadamard pour des fonctions définies sur des ouverts de la sphère de Riemann, qui ne contiennent pas nécessairement l'origine. En utilisant des constructions ad-hoc et explicites, il a pu définir ce produit via une intégrale de contour. Cependant, cette construction n'est pas symétrique par rapport à 0 et à l'infini.
La première partie de cette thèse consiste en l'étude d'une généralisation du produit d'Hadamard étendu par Pohlen. Au moyen de la théorie de l'homologie singulière, nous introduisons des cycles plus symétriques et définissons un produit d'Hadamard généralisé, équivalent à celui de Pohlen quand les fonctions s'annulent à l'infini. Nous montrons ensuite que ce produit d'Hadamard généralisé est un cas particulier d'un phénomène plus général appelé "convolution cohomologique holomorphe". Nous étudions en détail cette convolution dans le cas du groupe de Lie complexe multiplicatif C^* et fournissons une formule à base d'intégrales de contour pour la calculer.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude de théorèmes de type Paley-Wiener holomorphes dus à Polya (dans le cas compact) et à Méril (dans le cas non compact). Ces théorèmes utilisent une version de la transformation de Laplace à base d'intégrales de contour. Grâce à la théorie des faisceaux sous-analytiques enrichis développée par A. D'Agnolo et M. Kashiwara, ainsi qu'à la transformation de Laplace enrichie introduite par M. Kashiwara et P. Schapira, nous montrons que ces théorèmes peuvent être compris d'un point de vue cohomologique. Sous certaines hypothèses de convexité et de sous-analyticité, il est même possible de prouver de plus forts isomorphismes de Laplace entre des espaces décrits par des conditions de croissance tempérée.
Ces espaces peuvent être liés à certains espaces de fonctionnelles analytiques. Dans le cas non compact, nous définissons un produit de convolution entre fonctionnelles analytiques et conjecturons que ce produit est compatible avec la version additive de la convolution cohomologique holomorphe précédemment étudiée. Grâce à nos résultats sur la transformation de Laplace enrichie, nous prouvons cette conjecture dans le cas sous-analytique.
Name of the research project :
Holomorphic Cohomological Convolution, Enhanced Laplace Transform and Applications
