Analyses préalables pour une ingénierie didactique sur la trigonométrie

Nous développons actuellement une thèse en didactique des mathématiques sur l'enseignement
de la trigonométrie dans le secondaire. Dans le cadre de ce travail, nous cherchons à concevoir
une ingénierie didactique (Artigue, 1988) visant à favoriser l'apprentissage des nombres
trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Nous présenterons, au cours de cette communication,
le cadre théorique dans lequel s’inscrivent nos recherches ainsi que les éléments déjà collectés
concernant la première phase de la méthodologie.
Notre cadre théorique est celui de la théorie des situations didactiques de Brousseau (Brousseau,
1998) au sein duquel nous nous appuyons sur la méthodologie de l'ingénierie didactique
d'Artigue. Pour certains de nos développements, nous aurons également recours à l'approche
instrumentale (Rabardel, 1995) et à la théorie de la transposition didactique (Chevallard et Johsua,
1991).

La théorie des situations didactiques de Brousseau guide toutes nos réflexions. Nous souhaitons
en effet concevoir une séquence présentant des situations adidactiques, à savoir des situations
d’apprentissage dans lesquelles l’élève s’approprie un problème et y propose une solution tandis
que l’enseignant le guide, sans intervenir au niveau des connaissances. L’enseignant crée une
rupture du contrat didactique par un acte de dévolution : il permet à l’élève de s’approprier le
problème et l’aide à accepter la responsabilité de sa résolution. Il place l’élève en interaction avec
un certain milieu, à savoir ce sur quoi il peut agir et ce qui peut agir sur lui. L’élève est confronté à
des obstacles qu’il franchit en comprenant ses erreurs et leurs conséquences. Quand l’élève
propose une solution au problème, l’enseignement la met en relation avec les connaissances
visées par l’activité et lui reconnaît une place dans le savoir ; c’est l’institutionnalisation.

La méthodologie d’ingénierie d’Artigue se décompose en quatre étapes. La première concerne les
analyses préalables, à savoir l’analyse du cadre institutionnel (programmes, manuels,…), des
éléments du savoir savant concerné, des travaux didactiques déjà réalisés dans le domaine, des
éléments du savoir enseigné, etc. Cette première phase est celle qui sera décrite lors de la
communication. La deuxième étape est la conception de la séquence de cours et son analyse a
priori, à savoir les réflexions sur sa conception, l’anticipation des difficultés des élèves, les
comportements attendus, les variables didactiques, etc. La troisième étape est l’expérimentation
de la séquence en classe. La dernière étape comprend l’analyse a posteriori et, selon les
conclusions, la validation de la séquence. L’ingénierie didactique d’Artigue se caractérise par une
validation interne issue de la confrontation entre l’analyse a priori et l’analyse a posteriori.

Dans nos analyses préalables, nous avons exploré les chapitres de trigonométrie de nombreux
manuels scolaires ainsi que les programmes scolaires belges... Sur cette base, nous avons réalisé
un questionnaire à destination des enseignants. En parallèle, nous avons recensé les divers
travaux en didactique des mathématiques s'intéressant au sujet qui nous occupait. La mise en
relation des manuels avec les réflexions des enseignants illustrait divers obstacles relevés dans la
littérature. Cela nous a notamment menées à questionner le rôle fondamental que les
programmes, les manuels et les enseignants donnaient au cercle trigonométrique, pourtant
source de nombreuses difficultés relevées dans la littérature. Nous avons alors réinterrogé le
savoir savant en nous appuyant sur l’approche instrumentale de Rabardel et nous avons tenté de
reconstruire un savoir permettant d’amener l’élève à découvrir progressivement les raisons pour
lesquelles le cercle trigonométrique est un artefact pertinent pour visualiser, généraliser et comparer des nombres trigonométriques. Le recours au cercle trigonométrique proprement est
alors reporté à la fin du processus d’apprentissage des nombres trigonométriques. La phase
d’instrumentalisation, indispensable à une conceptualisation efficace, se déroule, dans ce cadre,
au fur et à mesure de la construction de l’artefact. Ces éléments devront être pris en charge par la
séquence que nous nous proposons de construire.

Références :
ARTIGUE, M. (1988). Ingénierie didactique. Recherches en didactique des mathématiques, 9(3),
281-308
BROUSSEAU, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.
CHEVALLARD, Y. & JOHSUA, M.-A. (1991) La transposition didactique, du savoir savant au savoir
enseigné. La pensée Sauvage.
RABARDEL, P. (1995). Les hommes et les technologies - Une approche cognitive des
instruments contemporains. Armand Colin.