Keywords :
Knowledge Ecology, acculturation, heuristic discourse, Linear algebra; Ecologie des savoirs, acculturation, discours heuristique, Algèbre linéaire
Abstract :
[en] ABSTRACT : Our research examines the sustainability of an acculturation heuristic discourse to Linear Algebra, prototypical gradual development of this discipline in a dialectical process with elementary geometry.
Our theoretical frameworks are borrowed from mathematics Didactic : mainly, Theory of Didactic Situations by Brousseau and Anthropological Theory of Didactics by Chevallard. These theories have enabled us to problematize the studied issue and make it a teaching "phenomenon" by giving intelligibility to the observations in a way that they are interpreted in a falsifiable hypothesis ( in Popper's sense ) which may integrate them all . In this context, the strict meaning given by Lakatos to heuristic speech has been broadly extended in terms of fundamental situation and praxeologies “modeling” according to Job and Schneider. A rational reading of historical and epistemological development of linear algebra then allowed us to build a "reference epistemological model" not only allowing us to answer to the question: "what is it to do linear algebra ?", but also to legitimize the referent heuristic discourse that served us as “phénoménotechnique”.
Considering that our study is well marked, we have experimented in "secondary" and "university" institutions a heuristic device based on some selected aspects of the referent heuristic discourse. The analysis of observable that empirical work has identified has led us to identify several factors that combine to determine the ecological fragility of this speech and are at different levels of scale didactic codetermination (by Chevallard) :
- The institutional variation of the curriculum of secondary education part in relation to linear systems. Including an emphasis on a resolution systems contract at the expense of their discussion, with a focus placed on the substitution method ; little technological discourse on the principles of equivalence systems and no intelligibility in terms of beams ; little work on equations as constraints with an impact on the lack of connection between the solution space of a system and the number of "independent" constraints, and finally, no ecological niche for the study of systems due to fragmentation of knowledge involved in multiple chapters.
- The constraints inherent in the process of didactic transposition in terms of depersonalization and “désyncrétisation” of the knowledge but also in terms of progress in teaching time or chronogenesis.
- Constraints related to teaching : a teacher accommodation to a socio-constructivist paradigm which appears as disguised exposition (ostension) and some ineffective activities ; a university pedagogy marked by “applicationnisme”, protectionism and a timing organization that puts theory on a pedestal where it is no longer in question.
- An allegiance to the "mathematical" institution that is manifested, for instance, by some emblematic gestures linked to the mathematic rigor and which do not have great functionality.
- Finally, an influence of the work of mathematicians on the didactic transposition, in the era of modern mathematics, which still inspires today didactic way, impeding (or being an obstacle for) linear algebra construction in dialectic with the geometry.
The selected scenario for the role of interpretive hypothesis articulating these factors questions, in turn, all our education system which is too inspired by deductive theories in their completed text application.
[fr] RESUME DE LA THESE : Notre travail de recherche étudie la viabilité écologique d’un discours heuristique d’acculturation à l’algèbre linéaire, prototypique d’une construction progressive de cette discipline dans un processus de dialectique avec la géométrie élémentaire.
Nos cadres théoriques sont empruntés à la didactique des mathématiques : principalement, la Théorie des Situations Didactiques de Brousseau et la Théorie Anthropologique du Didactique de Chevallard. Ces théories nous ont permis de problématiser la question étudiée et d’en faire un « phénomène » didactique en donnant aux observations faites une intelligibilité en ce sens qu’elles sont interprétées au sein d’une hypothèse falsifiable (au sens de Popper) susceptibles de les intégrer toutes. Dans ce cadre, le sens strict que donne Lakatos au discours heuristique a été étendu en termes de situation fondamentale au sens large et de praxéologies ‘modélisation’ au sens de Job et Schneider. Une lecture raisonnée du développement historico-épistémologique de l’algèbre linéaire nous a ensuite permis de construire un « modèle épistémologique de référence » permettant non seulement de répondre à la question : « qu’est-ce que faire de l’algèbre linéaire ? », mais aussi de légitimer le discours heuristique référent qui nous a servi de phénoménotechnique.
Notre étude étant ainsi balisée, nous avons expérimenté, dans les institutions « secondaire » et « université », un dispositif heuristique fondé sur quelques aspects choisis du discours heuristique référent. L’analyse des observables que ce travail empirique a permis de dégager nous a conduit à identifier plusieurs facteurs qui se conjuguent pour déterminer la fragilité écologique de ce discours et qui se situent à différents niveaux de l’échelle de codétermination didactique :
- La déclinaison institutionnelle de la partie du curriculum de l’enseignement secondaire en lien avec les systèmes linéaires. Notamment une insistance sur un contrat de résolution de systèmes au détriment de leur discussion, avec un focus mis sur la méthode de substitution ; peu de discours technologique sur les principes d’équivalence des systèmes et aucune intelligibilité en termes de faisceaux ; peu de travail sur les équations comme contraintes avec une incidence sur l’absence de lien entre l’espace des solutions d’un système et le nombre de contraintes « indépendantes » et, enfin, pas de niche écologique pour l’étude des systèmes en raison d’un émiettement des savoirs concernés dans des chapitres multiples.
- Les contraintes inhérentes au processus de transposition didactique en termes de dépersonnalisation et de désyncrétisation du savoir mais aussi en termes de progression dans le temps didactique ou chronogenèse.
- Des contraintes de type pédagogique : une accommodation des enseignants au paradigme socio-constructiviste sous forme d’ostension déguisée et d’activités peu porteuses ; une pédagogie universitaire marquée par l’applicationnisme, le protectionnisme et un découpage du temps qui place la théorie sur un piédestal où elle n’est plus à questionner.
- Une allégeance à l’institution « mathématique » manifestée e.a. par quelques gestes emblématiques de la rigueur et qui n’ont pas grande fonctionnalité.
- Enfin, une influence du travail des mathématiciens sur la transposition didactique, à l’époque des mathématiques modernes, qui inspire encore aujourd’hui des parcours didactiques faisant obstacle à une construction de l’algèbre linéaire dans une dialectique avec la géométrie.
Le scénario retenu pour jouer le rôle d’hypothèse interprétative articulant ces différents facteurs questionne, en retour, tout notre système d’enseignement encore trop inspiré de théories déductives dans leur mise en texte achevée.
