Géométrie des matrices positives semi-définies de rang fixé : un peu de théorie et beaucoup d’applications

Cet article est une introduction au calcul et `a
l’optimisation sur les matrices sym´etriques positives semid
´efinies de rang (faible) fix´e. L’approche propos´ee est bas´ee
sur deux g´eom´etries riemanniennes quotient, qui permettent
de calculer efficacement tout en pr´eservant le rang et le caract`
ere positif des matrices consid´er´ees. Le champ d’applications
est vaste, et l’article survole quelques d´eveloppements
r´ecents qui illustrent l’int´erˆet de l’approche consid´er´ee dans
les probl`emes de tr`es grande taille rencontr´es en contrˆole,
statistiques, et apprentissage.