p-Large Deviation Wavelet Formalism

L'analyse multifractale fournit un cadre puissant pour étudier la régularité ponctuelle de fonctions et de signaux, en particulier leur \textit{spectre multifractal}, c'est-à-dire la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points qui partagent la même régularité. La notion de régularité la plus couramment utilisée est la \textit{régularité Hölderienne} ($p=+\infty$), mais elle présente le désavantage d'être limitée aux fonctions localement bornées. Il est par conséquent intéressant d'exploiter la notion plus générale de \textit{$p$-régularité} ($0<p<+\infty$), qui peut quant à elle s'appliquer à des fonctions localement dans $L^p$. Un des objectifs est alors d'obtenir un formalisme pour le $p$-spectre, à savoir une borne supérieure numériquement calculable et optimale d'une part pour une classe de fonctions assez vaste, et d'autre part de manière générique dans un espace fonctionnel bien choisi. Dans ce contexte, les ondelettes constituent un outil fondamental car les coefficients d'ondelettes permettent de caractériser la $p$-régularité sous une condition qui dépend elle aussi des coefficients d'ondelettes. La définition du \textit{formalisme de $p$-grande déviation} repose en outre sur la \textit{densité d'ondelettes} qui encode le nombre approximatif de coefficients d'ondelettes ayant un certain ordre à chaque grande échelle.