Abstract :
[fr] Nous présentons les outils fondamentaux du formalisme de la mécanique quantique non relativiste basée sur un principe d’incertitude généralisé, impliquant l’existence d’une longueur élémentaire. En considérant deux systèmes simples, à savoir le potentiel delta de Dirac à 1 dimension et le potentiel de Coulomb à 3 dimensions, nous illustrons comment on peut résoudre l’équation de Schrödinger et extraire le spectre d’énergie, analytiquement ou perturbativement, dans ce formalisme. Nous appliquons ce formalisme au potentiel singulier -alpha/r²(alpha > 0) à 3 dimensions, qui nécessite une régularisation aux petites distances en mécanique quantique ordinaire. Nous étudions la solution de l’équation de Schrödinger dans l’espace des impulsions. Nous montrons que la longueur élémentaire régularise le potentiel naturellement. Le spectre d’énergie est calculé comme dans le cas des potentiels réguliers, sans introduction d’un paramètre arbitraire, et le système possède un état fondamental avec une énergie finie. Nous généralisons notre étude en étudiant l’équation de Schrödinger déformée pour le potentiel −alpha/r² à N dimensions, pour toutes les valeurs du nombre quantique du moment orbital l. La solution analytique est une fonction de Heun qui se réduit à une fonction hypergéométrique dans certains cas particuliers. Nous appliquons nos résultats à 2 dimensions spatiales au problème d’un dipôle dans le champ d’une corde cosmique. Nous étudions en détail l’existence des états liés du système pour différentes valeurs de la constante de couplage, qui d´epend de l’angle (θ) entre la corde cosmique et le dipôle. Nous montrons en particulier que la corde cosmique ne peut pas lier le dipôle si θ ≤ π/4. Nous éxaminons également le nombre des états liés du potentiel −alpha/x² à 1 dimension dans ce nouveau formalisme de la mécanique quantique. Les résultats sont en accord qualitatif avec ceux de la mécanique quantique ordinaire. Nous concluons que dans une théorie quantique non relativiste incluant une longueur élémentaire, celle-ci représenterait une dimension intrinsèque du système étudié. Le formalisme de cette nouvelle version de la mécanique quantique serait utile pour résoudre des problèmes caractérisés par des anomalies dues à des singularités aux petites distances./We discuss the fundamental tools of the formalism of nonrelativistic quantum mechanics based on a generalized uncertainty principle, implying the existence of a minimal length. We consider two simple systems, namely the one-dimensional Dirac delta potential and the three-dimensional Coulomb potential to illustrate how the Schrödinger equation and the eigenvalue problem in the presence of the minimal length can be solved exactly or perturbatively. We apply this formalism to the singular potential −alpha/r² (alpha > 0), whose short distance behavior must be regularized in ordinary quantum mechanics. We solve analytically the three-dimensional Schrödinger equation in momentum space. We show that the presence of a minimal length in the formalism regularizes the potential in a natural way. The energy spectrum is calculated as in the case of regular potentials, without introducing any arbitrary parameters, and the system possesses a finite energy in the ground state. We generalize our study by solving analytically the deformed Schrödinger equation for the potential −alpha/r² in N-dimensions, and for all values of orbital momentum quantum number l. The solution is a Heun function which reduces to a hypergeometric function in some special cases. We apply our results in two spatial dimensions to the problem of a dipole in a cosmic string background. We study in detail the existence of bound states of the system for all values of the coupling constant, depending on the angle (θ between the cosmic string and the dipole. We show in particular that the cosmic string cannot bind the dipole if θ ≤ π/4. We investigate also the number of bound states for the one-dimensional −alpha/x² potential in this new formalism of quantum mechanics. The results are in qualitative agreement with those of ordinary quantum mechanics. We conclude that the minimal length in a non relativistic quantum theory may represent an intrinsic dimension of the system under study. The formalism of this deformed version of quantum mechanics would be useful to solve problems characterized by anomalies dues to singularities at small distances.
