Abstract :
[en] In cosmology, one often assumes that the universe is homogeneous and isotropic. While originally a simplifying assumption, today there is observational evidence that this is a good approximation in our Universe on scales above a few hundred megaparsecs. This approximation is often used when calculating various distances as a function of redshift, even though the scales probed by a beam of light are much smaller than the scale of homogeneity. Since our Universe is obviously not homogeneous and isotropic on small scales, it is at least conceivable that this could affect distance calculation.
Two models have been proposed in order to take such small-scale inhomogeneities into account in a relatively simple way. One, due to Zel’dovich, involves a two-component universe where one component is smoothly distributed and the other in clumps, with the assumption that, when calculating distance from redshift, light propagates far from all clumps. Under those assumptions, one can derive a second-order differential equation for the distance. This is a simple ansatz but it is not obvious how valid it is. Another approach, originally due to Einstein and Straus but developed with regard to cosmological-distance calculation by Kantowski, involves removing material from a spherical region of an otherwise smooth universe and redistributing it inside this sphere (e.g. as a point mass at the centre, as a shell at the boundary, or in a more complicated manner). This ansatz is more difficult for calculations, but is an exact solution of the Einstein equations, so there is no question about its validity (how realistic such a mass distribution is as a model of our Universe is a separate question). Long after both had been investigated in detail, Fleury showed that they are equivalent at a well controlled level of approximation.
After a review of the history of those two approaches, I present my own work in this area: an efficient numerical implementation for the solution of the most general form of the differential equation (i.e. arbitrary values of λ0, Ω0, and the homogeneity parameter η, the last indicating the fraction of matter distributed smoothly), a discussion of the uncertainty in distance calculation due to uncertainty in the value of η, the effect of η on the calculation of H0 from gravitational-lens time delays, the effect of η on the separation between images in a gravitational-lens system, and the effect of η on the determination of λ0 and Ω0 from the m–z relation for Type Ia supernovae—including evidence that observations indicate that, in our Universe, the standard distance is a good approximation, even though small-scale inhomogeneities can be appreciable, probably because the Zel’dovich model does not accurately describe our Universe.
[fr] En cosmologie, on suppose souvent que l'univers est homogène et isotrope. Bien qu'il s'agisse à l'origine d'une hypothèse simplificatrice, il est aujourd'hui prouvé grâce à l'observation qu'il s'agit d'une bonne approximation dans notre Univers, à des échelles plus grand que quelques centaines de megaparsecs. Cette approximation est souvent utilisée pour calculer de diverses distances en fonction du décalage vers le rouge, même si les échelles sondées par un faisceau lumineux sont beaucoup plus petites que l'échelle d'homogénéité. Étant donné que notre Univers n'est évidemment pas homogène et isotrope à petite échelle, il apparaît concevable que cela pourrait affecter le
calcul des distances.
Deux modèles ont été proposés afin de prendre en compte ces inhomogénéités à petit échelle de manière relativement simple. L'un, dû à Zel'dovich, propose un univers à deux composants où l'une est distribuée de manière lisse et l'autre sous forme de petites concentrations, avec l'hypothèse que, lors du calcul de la distance en fonction au décalage vers le rouge, la lumière se propage loin de toutes ces concentrations de matière. Adoptant ces hypothèses, on peut dériver une équation différentielle du second ordre pour la distance. Il s'agit d'une approche simple, mais sa validit é n'est pas démontrée. Une autre approche, due à l'origine à Einstein et Straus mais développée par Kantowski en ce qui concerne le calcul de la distance cosmologique, consiste à retirer de la matière d'une région sphérique d'un univers par ailleurs lisse et à la redistribuer à l'int érieur de cette sphère (par exemple comme une masse ponctuelle au centre, comme une coque à sa frontière, ou de toute autre manière plus compliquée). Cet approche est plus difficile pour les calculs, mais elle conduit à une solution exacte des équations d'Einstein, donc il n'y a aucun doute sur sa validité (le réalisme d'une telle distribution de masse comme modèle de notre Univers est un autre question). Bien aprés que les deux modèles aient été étudiés en détail, Fleury ont montré qu'ils sont équivalents à un niveau d'approximation bien contrôlé.
Après une revue de l'histoire de ces deux approches, je présente mon propre travail dans ce domaine: une implémentation numérique efficace du solution de la forme la plus générale de l'équation différentielle (i.e. valeurs arbitraires de λ0, Ω0 et le paramètre d'homogénéité η, ce dernier indiquant la fraction de matière distribué de manière lisse). J'aborde une discussion sur l'incertitude du calcul de la distance due à l'incertitude sur la valeur de η, l'effet de η sur le calcul de H0 à partir du décalage temporel observé pour certains mirages gravitationnelles, l'effet de η sur la séparation entre les images produites par une lentille gravitationnelle, et l'effet de η sur la détermination de λ0 et Ω0 de la relation m—z pour supernovae de Type Ia. Les observations semblent aussi indequer que, dans notre Univers, la distance standard est une bonne approximation, même si les inhomogénéités à petite échelle peuventêtre appréciables, probablement parce que le modèle Zel'dovich ne décrit pas avec précision notre Univers.
