Blind Inverse Imaging with Positivity Constraints

Dans les problèmes inverses en imagerie, on suppose généralement connu l’opéra-
teur ou matrice décrivant le système de formation de l’image. De façon équiva-
lente pour un système linéaire, on suppose connue sa réponse impulsionnelle.
Toutefois, ceci n’est pas une hypothèse réaliste pour de nombreuses applica-
tions pratiques pour lesquelles cet opérateur n’est en fait pas connu (ou n’est
connu qu’approximativement). On a alors affaire à un problème d’inversion dite
"aveugle". Dans le cas de systèmes invariants par translation, on parle de "décon-
volution aveugle" car à la fois l’image ou objet de départ et la réponse impulsion-
nelle doivent être estimées à partir de la seule image observée qui résulte d’une
convolution et est affectée d’erreurs de mesure. Ce problème est notoirement dif-
ficile et pour pallier les ambiguïtés et les instabilités numériques inhérentes à ce
type d’inversions, il faut recourir à des informations ou contraintes supplémen-
taires, telles que la positivité qui s’est avérée un levier de stabilisation puissant
dans les problèmes d’imagerie non aveugle. La thèse propose de nouveaux al-
gorithmes d’inversion aveugle dans un cadre discret ou discrétisé, en supposant
que l’image inconnue, la matrice à inverser et les données sont positives. Le pro-
blème est formulé comme un problème d’optimisation (non convexe) où le terme
d’attache aux données à minimiser, modélisant soit le cas de données de type
Poisson (divergence de Kullback-Leibler) ou affectées de bruit gaussien (moindres
carrés), est augmenté par des termes de pénalité sur les inconnues du problème.
La stratégie d’optimisation consiste en des ajustements alternés de l’image à re-
construire et de la matrice à inverser qui sont de type multiplicatif et résultent
de la minimisation de fonctions coût "surrogées" valables dans le cas positif. Le
cadre assez général permet d’utiliser plusieurs types de pénalités, y compris sur
la variation totale (lissée) de l’image. Une normalisation éventuelle de la réponse
impulsionnelle ou de la matrice est également prévue à chaque itération. Des
résultats de convergence pour ces algorithmes sont établis dans la thèse, tant
en ce qui concerne la décroissance des fonctions coût que la convergence de la
suite des itérés vers un point stationnaire. La méthodologie proposée est validée
avec succès par des simulations numériques relatives à différentes applications
telle que la déconvolution aveugle d’images en astronomie, la factorisation en matrices positives pour l’imagerie hyperspectrale et la déconvolution de densités
en statistique.