Triangles de Pascal et compagnie

Le triangle de Pascal classique ainsi que le triangle de Sierpiński sont des objets largement étudiés. Ils montrent des aspects auto-similaires et ont des liens avec les systèmes dynamiques, les automates cellulaires, la théorie des nombres et les suites dites automatiques. Dans ce séminaire, nous présentons un travail en collaboration avec Julien Leroy et Michel Rigo. Dans un premier temps, nous introduisons une généralisation du triangle de Pascal basée sur les coefficients binomiaux de mots finis et nous étudions le cas plus particulier des représentations en base 2. Ces coefficients comptent le nombre de fois qu’un mot fini apparaît comme sous-suite d’un autre mot fini. De la même façon que le triangle de Sierpiński peut être construit comme l’ensemble limite, pour la distance de Hausdorff, d’une suite convergente de compacts renormalisés extraits du triangle de Pascal classique modulo 2, nous décrivons et étudions les premières propriétés du sous-ensemble de [0, 1] × [0, 1] associé à ce triangle de Pascal généralisé modulo un nombre premier p. Dans un second temps, nous étudions la suite qui compte, sur chaque ligne du triangle de Pascal généralisé en base 2, le nombre de coefficients binomiaux strictement positifs. Cette suite présente une régularité étonnante qui peut être mise en évidence en utilisant une structure particulière de graphes, appelée arbre des sous-mots.