Les mathématiques les plus simples

Peirce, Charles Sanders

doi:10.3917/philo.159.0015

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Article (Scientific journals)

Les mathématiques les plus simples

Peirce, Charles Sanders; Leclercq, Bruno

2023 • In Philosophie, 159, p. 15-28

Peer reviewed

Permalink
https://hdl.handle.net/2268/308615

DOI
10.3917/philo.159.0015

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Bruno Leclercq - Charles Sanders Peirce, Les mathématiques les plus simples - Philosophie - 2023.pdf

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Keywords :

déduction; logique; théorique; corollarial; schèmes; deduction; logic; theoretic; schemes

Abstract :

[fr] Quoiqu'elles pratiquent en permanence le raisonnement déductif, les mathématiques ne dépendent pas de la logique. Au contraire, toute logique formelle est mathématique. Contrairement à ce que l'on dit souvent, les mathématiques ne sont pas la science de la quantité, mais la science des conclusions nécessaires. Elles raisonnent à partir de pures hypothèses, dont elles explorent les possibilités de manière imaginaire pour en tirer des conclusions apodictiques. Obtenir des résultats nouveaux et proprement théorématiques - plutôt que de simplement "corollaires" des résultats déjà obtenus - suppose de ne pas s'en tenir à déduire des conséquences analytiques par analyse des concepts généraux impliqués; il faut au contraire représenter ces concepts généraux dans des diagrammes singuliers et opérer sur ces derniers des transformations qui font apparaître des propriétés ou relations nécessaires encore inaperçues. En faisant de ces propriétés ou relations les objets de nouveaux jugements, les mathématiques pratiquent l'"abstraction" en un sens distinct de l'opération psychique de réserver son attention à certains traits d'un percept au détriment des autres.
[en] Even though mathematics is deductive reasoning all along, it does not depend on logic. On the contrary, formal logic is mathematical. Despite what is often claimed, mathematics is not the science of quantity, but the science of necessary conclusions. It reasons from pure hypotheses, explores their possibilities in imagination and draws apodictic conclusions. Obtaining new theoretical results - as opposed to mere "corollaries" of previous results - asks for more than mere deduction of analytical consequences by analysis of the general concepts involved. It requires representing these general concepts into singular diagrams and operating transformations on them in order to reveal necessary properties or relations which had not yet been perceived. By making these properties or relations the objects of new judgments, mathematics practices "abstraction" in a sense that does not reduce to the psychic operation of reserving one's attention to certain features of a percept at the expense of others.

Research Center/Unit :

MéThéor - Métaphysique et Théorie de la Connaissance - ULiège
Traverses - ULiège

Disciplines :

Philosophy & ethics

Author, co-author :

Peirce, Charles Sanders

Translator :

Leclercq, Bruno ; Université de Liège - ULiège > Département de philosophie > Philosophie analytique et de la logique

Language :

French

Title :

Les mathématiques les plus simples

Alternative titles :

[en] Simplest mathematics

Publication date :

2023

Journal title :

Philosophie

ISSN :

0294-1805

Publisher :

Les Éditions de Minuit, France

Special issue title :

Charles Sanders Peirce : métaphysique, logique, mathématiques

Volume :

159

Pages :

15-28

Peer reviewed :

Peer reviewed

Available on ORBi :

since 10 November 2023

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d’après ce qui est dit par Proclus diadochus, 485 après J.-C. [Commentarii in Primum Euclidis Elementorum Librum, Prologi pars prior, c. 12], il semblerait que les Pythagoriciens entendaient les mathématiques comme étant la réponse aux deux questions « combien ?» [how many?] et « en quelle quantité ?» [how much?].
Je regrette de n’avoir pas noté le passage d’Ammonios auquel je renvoie. C’est probablement un des extraits donnés par Brandis. La note de mon manuscrit indique qu’il fournit des raisons montrant que c’est ce qu’il veut dire.
trad. fr. J. tricot, La métaphysique, Paris, vrin, 1986, tome ii, p. 591-592;
trad. fr. M.-P. duminil & A.Jaulin, Métaphysique in Œuvres complètes, Paris, flammarion, 2014, p.1903.
de 510 c à la fin (trad. fr. L.Robin in Œuvres complètes, Paris, Gallimard, 1950, tome i, p.1099-1101); mais sa conception est améliorée dans les Lois.
Une vue que John Stuart Mill (Logic II, v, § 2) appelle de manière assez comique «l’importante doctrine de dugald Stewart.» (trad. fr. Louis Peisse, Système de logique, Paris, Librairie Philosophique de Ladrange, 1966, tome i, p.259-260).
Bien sûr, dès le moment où on reconnaît qu’une collection est une abstraction, on doit admettre que, si la matière a des parties, même un percept est une abstraction ou représente une abstraction. Il devient donc difficile de maintenir que les abstractions sont toutes des fictions.
Il ne serait cependant pas juste de supposer que tout lecteur le sait. Bien sûr, il y a beaucoup de séries qui sont divergentes de manière tellement extravagante qu’on ne peut en faire aucun usage. Mais même quand une série est divergente dès le départ, on pourrait communément en faire un usage si la même information ne pouvait être obtenue plus aisément d’une autre manière. La raison en est – ou plutôt, une raison en est – que la plupart des séries, même quand elles sont divergentes, s’approchent au moins quelque peu de séries géométriques, du moins pour une suite considérable de termes. La série log (1+x) = x – (1/2)x2 + (1/3)x3 – (1/4)x4 +, etc., est une série qu’on n’emploierait pas de manière judicieuse pour trouver le logarithme naturel de 3, qui est 1.0986, ses termes successifs étant 2 – 2 + 8/3 – 4 + 32/5 – 32/3 +, etc. Néanmoins, en utilisant le dispositif courant de substituer aux deux derniers termes utilisés, disons M et N, l’expression M/(1–N/M), la suite des six premières valeurs est 0.667, 1.143, 1.067, 1.128, 1.067, qui montrent bien une certaine approximation de la valeur. La moyenne des deux derniers, que tout calculateur professionnel utiliserait (si l’on suppose qu’il utilise cette série) serait 1.098, ce qui n’est pas très loin de la vérité. Bien sûr, en pratique le calculateur utiliserait la série log 3 = 1 + 1/12 + 1/80 + 1/448 +, etc., dont les termes écrits donnent la valeur correcte à quatre places si elle est proprement utilisée.
«Logique formelle» est aussi utilisé, principalement par les Allemands, pour signifier cette secte de la logique qui fait de la logique formelle la quasi-totalité de la logique.