Abstract :
[en] This thesis is dedicated to the design and the analysis of numerical schemes for the simulation of three-dimensional weakly laminar compressible fluid flows with moving boundaries. For treating this kind of problems in the framework of a cell-centered finite volume method, three main themes are addressed: the discretization schemes on moving meshes, the preconditioning techniques for weakly compressible flows and a multi-block mesh strategy for adapting the mesh to the domain deformation. Since this thesis is mainly dedicated to the analysis of the numerical scheme accuracy and robustness, only laminar flows are considered.
The primitive variables and their gradients must be reconstructed to the cell faces to perform the advective and diffusive flux integration. In the literature, the gradients are often calculated with a first order of accuracy as the mean of their values at the left and right nodes. As this resulting scheme is unstable, a jump term containing a case-dependent parameter must be added. Furthermore, we show that these methods lead to an inconsistent discretization on irregular meshes. We thus propose a second-order gradient reconstruction by means of a least-square technique applied directly at the cell faces to obtain an accurate and stable discretization. We then extend this novel face-based strategy to the variables so as to perform both the variable and gradient reconstructions together in a single procedure. On moving meshes, the Arbitrary Lagrangian-Eulerian term is treated in a way that is consistent with the Discrete Geometric Conservation Law.
A preconditioning technique that modifies the eigenvalues and the eigenvector structure of the system is applied to ensure the convergence of the parallel pseudo-transient Newton-GMRES iterations at low Mach numbers. Nevertheless, we show that it is not always possible to optimize both the eigenvalues and the eigenvectors. Contrary to some existing methods, we suggest to rather optimize the eigenvectors, which yields a better convergence rate and permits to avoid the use of user-defined parameters. The analysis of the preconditioning techniques is extended to low cell Reynolds numbers and to high cell Strouhal numbers. The scaling of the pressure and velocity dissipation terms of the AUSM+up scheme is modified to preserve the accuracy in the incompressible limit. We also show that these two terms should be scaled independently for high cell Strouhal numbers. Some 3D compressible manufactured solutions are designed to measure the accuracy. Finally, preconditioned non-reflecting boundary conditions are proposed for weakly compressible flows.
For moving boundary flows, the mesh deformation is computed through a Laplacian equation with a sliding condition for some of the boundary vertices. With the aim to avoid any re-meshing step, we demonstrate the feasibility of a multi-block strategy that consists in partitioning the mesh into blocks that can be deformed independently. The treatment of the interface between two 3D unstructured mesh blocks sliding on each other is done by means of an algorithm that defines a new common surface mesh for the possibly non-planar interface. This algorithm is also able to automatically identify boundary walls.
The different methods designed in this thesis are based on rigorous analytic developments and their efficiency is demonstrated in terms of accuracy and robustness on several targeted test-cases.
[fr] Cette thèse est dédiée à la conception et à l'étude de schémas numériques pour la simulation d'écoulements laminaires tridimensionnels dans des domaines à frontières mobiles. Pour traiter ce type de problèmes, trois thèmes principaux y sont abordés : la discrétisation par la méthode des volumes finis (cell-centered) sur maillages mobiles, les techniques de préconditionnement pour les écoulements faiblement compressibles et une stratégie multi-blocs pour la déformation de maillage. Cette thèse étant principalement consacrée à l'analyse de la précision et de la robustesse des schémas numériques, seuls les écoulements laminaires y sont considérés.
Les variables et leurs gradients doivent être reconstruits sur les faces des éléments pour le calcul des flux advectifs et diffusifs. Dans la littérature, les gradients sont généralement calculés au premier ordre de précision en faisant la moyenne de leurs valeurs aux noeuds de droite et de gauche. Le schéma obtenu étant instable, il nécessite l'ajout d'un terme de stabilisation contenant un paramètre dont il est difficile de trouver la valeur optimale. De plus, nous montrons que ces méthodes donne une discrétisation inconsistante sur maillages irréguliers. Nous proposons donc une reconstruction des gradients au second ordre au moyen d'une technique des moindres carrés appliquée directement sur les faces afin d'obtenir une discrétisation précise et stable. Nous appliquons ensuite aux variables cette nouvelle stratégie basée sur les faces afin d'effectuer les reconstructions des variables et de leurs gradients en une seule procédure. Sur maillages mobiles, le terme ALE est traité de manière adéquate pour que la loi de conservation géométrique discrète soit respectée.
Un préconditionnement modifiant les valeurs propres et les vecteurs propres du système est appliqué pour assurer la convergence des itérations pseudo-instationnaires de Newton lorsque le nombre de Mach est faible. Néanmoins, nous montrons qu'il n'est pas possible d'optimiser en même temps les valeurs et les vecteurs propres. Contrairement à d'autres méthodes existantes, nous suggérons de plutôt optimiser les vecteurs propres, ce qui donne un meilleur taux de convergence et permet d'éviter l'utilisation de certains paramètres. Cette étude est étendue aux faibles nombres de Reynolds de maille et aux nombres de Strouhal de maille élevés. Les termes de dissipation de pression et de vitesse du schéma AUSM+up sont modifiés pour préserver la précision dans le cas des écoulements quasi incompressibles, ces deux termes étant traités différemment pour les grands nombres de Strouhal de maille. Des solutions manufacturées sont construites pour étudier la précision des méthodes. Enfin, de nouvelles conditions aux limites non réfléchissantes sont proposées pour les écoulements faiblement compressibles.
La déformation du maillage est calculée en résolvant une équation de Laplace assortie d'une condition de glissement pour les sommets situés sur les frontières. Dans le but d'éviter toute étape de remaillage, nous étudions une stratégie multi-blocs qui consiste à partitionner le maillage en plusieurs blocs pouvant être déformés indépendamment. Le traitement de l'interface entre deux blocs glissant l'un sur l'autre est effectué par un algorithme définissant un nouveau maillage pour l'interface. Cet algorithme est également capable d'identifier automatiquement les parois solides.
Les différentes méthodes conçues dans cette thèse sont basées sur des développements analytiques rigoureux et leur efficacité en termes de précision et de robustesse est démontrée sur plusieurs cas-tests.
