Le problème de Prouhet

Si on pense aux nombres, à leur théorie et à l'arithmétique, on fait rapidement face à de nombreuses questions simples à énoncer (elles ne font intervenir que des sommes, des produits ou des puissances de nombres entiers) mais leurs éventuelles solutions peuvent s'avérer redoutables. Dans ce texte relatif à mon intervention du 22 août 2012 au congrès annuel de la SBPMef, on s'intéressera à un problème accessible : partitionner l'ensemble {0,1,2,...,2^{n+1}-1} en deux sous-ensembles A et B de même taille de telle sorte que les sommes des éléments de A et B soient égales, les sommes des carrés des éléments de A et B soient égales, ..., les sommes des puissances n-ièmes des éléments de A et B soient égales. Par exemple, pour n=2, on trouve 0+3+5+6=1+2+4+7 et 0^2+3^2+5^2+6^2=1^2+2^2+4^2+7^2. On en présentera une solution reposant de façon élégante sur les écritures en base $2$ et on s'autorisera quelques digressions : produit de sinus, répétition et chevauchement, jeu d'échecs, composition musicale, ... Ce texte est construit pour être une balade arithmétique amusante et inattendue, pouvant montrer à des élèves ouverts, un peu comme le prétend André Deledicq, que les mathématiques peuvent être jubilatoires.