Rigo, Michel[Université de Liège - ULiège > Département de mathématique > Mathématiques discrètes >]
22-Aug-2012
No
Yes
National
Congrès annuel de la Société belge des professeurs de mathématiques (SBPMef)
from 22-08-2012 to 24-08-2012
Liège
[fr] combinatoire ; suite de Thue-Morse ; automates
[fr] Si on pense aux nombres, à leur théorie et à l'arithmétique, on fait rapidement face à de nombreuses questions simples à énoncer (elles ne font intervenir que des sommes, des produits ou des puissances de nombres entiers) mais leurs éventuelles solutions peuvent s'avérer redoutables. Dans cet exposé, on s'intéressera à un problème accessible dû à Prouhet (1851) : "partitionner l'ensemble {0,1,2,...,2^N-1} en deux sous-ensembles A et B de même taille de telle sorte que les sommes des éléments de A et B soient égales, les sommes des carrés des éléments de A et B soient égales, ..., les sommes des puissances (N-1)-ièmes des éléments de A et B soient égales ". Par exemple, pour N=3, on trouve 0+3+5+6=1+2+4+7 et 0^2+3^2+5^2+6^2=1^2+2^2+4^2+7^2. On en présentera une solution reposant de façon élégante sur les écritures en base 2 et on s'autorisera quelques digressions : produit de sinus, répétition et chevauchement, jeu d'échecs, généralisations, pavages colorés, composition musicale, tours de Hanoï, cubes magiques, ... Cet exposé est construit pour être une balade arithmétique amusante et inattendue, pouvant montrer à des élèves ouverts, un peu comme le prétend André DELEDICQ, que les mathématiques peuvent être jubilatoires.
basé sur l'article : J.-P. Allouche and J. Shallit. The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence. in: C. Ding, T. Helleseth, and H. Niederreiter editors, Sequences and their applications, Proceedings of SETA'98, pages 1-16. Spinger-Verlag, 1999.
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