Le problème de Prouhet

Si on pense aux nombres, à leur théorie et à l'arithmétique, on fait rapidement face à de nombreuses questions simples à énoncer (elles ne font intervenir que des sommes, des produits ou des puissances de nombres entiers) mais leurs éventuelles solutions peuvent s'avérer redoutables. Dans cet exposé, on s'intéressera à un problème accessible dû à Prouhet (1851) : "partitionner l'ensemble {0,1,2,...,2^N-1} en deux sous-ensembles A et B de même taille de telle sorte que les sommes des éléments de A et B soient égales, les sommes des carrés des éléments de A et B soient égales, ..., les sommes des puissances (N-1)-ièmes des éléments de A et B soient égales ". Par exemple, pour N=3, on trouve 0+3+5+6=1+2+4+7 et 0^2+3^2+5^2+6^2=1^2+2^2+4^2+7^2. On en présentera une solution reposant de façon élégante sur les écritures en base 2 et on s'autorisera quelques digressions : produit de sinus, répétition et chevauchement, jeu d'échecs, généralisations, pavages colorés, composition musicale, tours de Hanoï, cubes magiques, ... Cet exposé est construit pour être une balade arithmétique amusante et inattendue, pouvant montrer à des élèves ouverts, un peu comme le prétend André DELEDICQ, que les mathématiques peuvent être jubilatoires.