Frames d'exponentielles

Actuellement, la théorie des frames est utilisée principalement en analyse du signal. La découverte du lien entre les frames et les ondelelettes et les bases de Riesz a marqué le point de départ de l’essor de la théorie des frames dans ce domaine. C’est dans le contexte de l’étude des séries nonharmoniques de Fourier que les frames ont été introduites par R.J. Duffin et A.C. Schaeffer en 1952 dans leur article intitulé "A class of nonharmonic Fourier series". Bien que la définition générale d’une frame sur un espace de Hilbert soit déjà donnée dans cet article et qu’une théorie des frames en elle-même y soit déjà développée, les auteurs, concernés surtout par l’analyse nonharmonique de Fourier, y développent essentiellement la notion de frames d’exponentielles dans l’espace L^2(I), où I est un intervalle borné de R. Le résultat principal obtenu par Duffin et Schaeffer est une condition suffisante pour qu’une suite de nombres complexes génère une frame d’exponentielles. Ce résultat est basé sur un résultat reliant les suites de densité uniforme et les fonctions entières de type exponentiel. Duffin et Schaeffer auteurs ne présentant qu’une condition suffisante, ils laissent donc là un problème ouvert : la caractérisation des frames d’exponentielles. Une résolution partielle de ce problème n’a été donnée que bien plus tard par Jaffard. En effet, en 1991, dans son article "A density criterion for frames of complex exponentials", Jaffard propose une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite réelle génère une frame d’exponentielles. Le but de ce mémoire est de présenter ces résultats.