Husserl and Hilbert : theory of formal systems

Le souci constamment affiché par le fondateur de la phénoménologie de développer une théorie de la constitution des idéalités mathématiques dans les vécus de conscience, mais aussi l'importance accordée dans l'oeuvre husserlienne à l'intuition catégoriale, ont souvent incité les commentateurs à rapprocher la philosophie des mathématiques de Husserl de l'intuitionnisme brouwerien. Certains des plus proches disciples de Brouwer, tels Hermann Weyl ou Arend Heyting, se sont d'ailleurs explicitement revendiqués des analyses de Husserl pour compléter ou renforcer leurs propres positions intuitionnistes. Réciproquement, on sait quel intérêt le phénoménologue Oskar Becker a marqué pour les travaux de l'école intuitionniste. Identifier les philosophies intuitionniste et phénoménologique des mathématiques serait cependant occulter tout ce qui, dans les travaux de Husserl, le rapproche bien davantage de Hilbert que de Brouwer.

Héritier sur ce point de Bolzano davantage que de Kant, Husserl est en effet en mathématiques un penseur de l’analytique plus que du synthétique, des rapports déductifs entre énoncés plus que des constructions des concepts. Comme chez l'auteur de la Wissenschaftslehre, ce sont les systèmes formels qui constituent la principale préoccupation de Husserl, et ce dès la Philosophie de l'arithmétique - dont la thèse fondamentale est précisément l'impossibilité de produire l'ensemble de l'arithmétique par construction - et jusqu'aux recherches génétiques des années 1920-1930 - qui continuent de distinguer explicitement la question de la genèse des concepts de celle de leur validation objective, qu’elle soit empirique ou, comme en mathématiques, purement formelle.

On sait combien la proximité de Husserl et Hilbert à Göttingen aux alentours du changement de siècle fut stimulante pour la réflexion des deux mathématiciens sur la fondation de leur discipline, et notamment pour l'investigation de certaines notions métamathématiques comme celles de consistance, de catégoricité et de complétude. Si c'est au seul génie de Hilbert que revient d'avoir développé de manière rigoureuse le projet d'une fondation formaliste des mathématiques, Husserl, dont les préoccupations prirent quant à elles une tournure philosophique plus générale, ne manqua cependant pas de se référer à ce même projet à chaque fois qu'il revint sur la question plus spécifique des objets mathématiques.